ENONCE N° 4:
On souhaite calculer pour une planète du système solaire, de constante de gravitation
mP, le rayon moyen de sa sphère d'influence.Pour cela, on choisit un point M de la sphère, donnant sensiblement la perturbation moyenne du soleil, comme ci dessous.
CONSEIL
: Vous considérerez que r << D et effectuerez les développements limités adéquats.Application numérique pour la terre : mS = 13.27 1010 km3 s-2, mT = 39.86 10 4 km3 s-2, D = 149.6 106 km
Rappelons d'après le cours sur la gravitation que la sphère d'influence vérifie une relation complexe :
Une transformation simple donne
Il suffit alors de remarquer, en allant un peu vite, que
Dans ces conditions, on parvient aisément au rayon r de la sphère d'influence:
Application numérique pour la terre
: mS = 13.27 1010 km3 s-2, mT = 39.86 10 4 km3 s-2, D = 149.6 106 kmLe calcul donne
Rsphère = 924694 km, nous retiendrons environ 900 000 km
Guiziou Robert décembre 1998